求线段比值毫无头绪?那是因为你没学会使用参数
ninehua 2024-11-27 18:21 32 浏览
求线段比值毫无头绪?那是因为你没学会使用参数
在八年级数学几何题中,求线段比值一直是难点,特别是在题目条件中没有给出线段长度的前提下,很多学生感到毫无头绪,这个时候,需要引入能表示线段长度的量,即设参数。
设参数也是初中数学的常用方法,可广泛用于求线段比值、角度比值、面积比值等,因为在求比值的过程中,参数通常会被消掉,使用参数,一定记得“过河拆桥”,即消参。
题目
在菱形ABCD中,∠ABC=60°,P是对角线BD上的一点,E是BC边上的一点,PE=PA.
(1)如图1,求∠APE的度数;
(2)如图2,BE的垂直平分线交BD于点F,交BE于点G,求PF:AB的值;
(3)如图3,PE交CD于点M,当∠CME=45°时,求BC:CE的值.
解析:
(1)含60°角的菱形,实际上可看作两个等边三角形拼成,属于特殊菱形,而菱形又是轴对称图形,BD即是它的对称轴,巧妙利用好这一性质,可让证明过程简化不少。
点P在BD上,于是连接PC,根据对称性,PA=PC,再根据题目条件中的PE=PA,我们可得PC=PE,如下图:
我们所要求的∠APE在四边形ABEP中,因此∠APE=360°-∠BAP-∠ABC-∠E=300°-∠BAP-∠E,再根据对称性,∠BAP=∠BCP=180°-∠PCE=180°-∠E,代入前式,即可得到∠APE=300°-(180°-∠E)-∠E=120°;
(2)我们知道菱形对角线平分一组对角,因此BD平分∠ABC,从而得到特殊∠PBC=30°,结合图中的垂直平分线,我们可构造含30°角的直角三角形,同时在前一小题中,我们证明了等腰△PCE,不妨过点P作PH⊥BE,再构造出一个特殊直角三角形,如下图:
鉴于题目并未给出任何边长的条件,因此为求比值,需要设参数来表示线段AB和PF,设哪个呢?
菱形的边长作用极其重要,首先我们可设菱形边长为x,然后在Rt△BFG中,三边数量关系为1:√3:2,因此再设FG=y,然后我们来探究如何表示PF。
在△BFG中,BF=2y,BG=√3y,点G是BE中点,因此BE=2BG=2√3y,所以CE=BE-BC=2√3y-x,前面已经证明过等腰△PCE,根据三线合一,可求出CH=√3y-x/2,再到第二个特殊直角三角形△BPH中,BH=BC+CH=x+√3y-x/2=√3y+x/2,于是PH=y+√3x/6,BP=2y+√3x/3,所以PF=BP-BF=√3x/3,至此我们可以求出比值了,结果为√3/3;
(3)本小题增加了一个特殊角45°,那么此时的比值又发生什么变化呢?我们依然延续上一小题中的参数设置,连接AC交BD于N点,如下图:
我们首先来计算一下相关的角度,在△MEC中,∠CME=45°,∠MCE=60°,所以得到∠E=75°,因此我们可以得到两个等腰三角形,分别是△BPE和△PCE,再计算出∠CPE=30°,所以得到∠APC=90°,由对称性求得∠BPC=45°,现在可以利用特殊直角三角形的边长关系了。
仍然设菱形边长为x,则CN=x/2=PN,BN=√3x/2,而BP=BN+PN=√3x/2+x/2,于是BE=BP=√3x/2+x/2,所以CE=BE-BC=√3x/2-x/2,接下来比值就可以求,化简后得√3+1.
解题反思
在使用参数之前,如何想到用参数?题目条件没有线段长,却要求比值是其一,存在特殊边长之间的关联例如等腰直角三角形,含30°角的直角三角形等是其二,存在等量关系例如全等、对称等是其三,除这道题外,许多其它问题也适用于参数法,例如解应用题,函数题,参数的意义在于辅助或简化,最终它会被消掉,如果推演到最后参数居然还在,那肯定说明过程中存在问题。
其实不需要把参数看得有多么高深莫测,当我们在学习角度表示是,标注∠1、∠2等,它们就是参数,同样在解题过程中,线段名称过多导致寻找数量关系不方便,设一个字母例如x,y等表示,最终起到的作用是简化过程。
微信公众号:雪浪纸
相关推荐
- 360N7手机桌面顶部弹窗解决法(360手机屏幕上方老是弹出广告)
-
近段时间360N7手机桌面老是弹出广告,烦人得很,5秒弹一次,在网上找了很多方法,把各种软件通知都关了一遍,系统通知也关了一遍,包括隐藏软件也找了都没用,后来我怀疑是系统本身,于是把系统及系统应用的更...
- 强烈推荐的几款干净好用的电脑软件
-
现在的电脑软件越来越流氓,下载一款产品后,自动在后台默默的帮你装上其产品的全家桶,也不管你用不用得上,反正就是咔咔一顿装。然后就是各种广告不停的往外弹,让人烦不胜烦!现在给大家推荐几款实用干净的软件1...
- 裸照一键定制软件疯传网络:每个人都可能成为受害者
-
蒙娜丽莎被“一键脱衣”。定制一张裸照需要多长时间?最新的技术只需要30秒。你不需要有高超的PS技术,不必有想象力,也不用知道任何数据或细节。只要有一张个人照片,普通的家用电脑就能制造一张原本不存在的裸...
- 多年努力终完成 PSP实现全机型可刷永久固件
-
尽管PSP已经退出了历史舞台,但是自从Sony改变主板设计,将潘多拉电池屏蔽、并且改变了主板的固件启动验证机制,导致在PSP2000V3、PSP3000和PSPGo上一直无法在最新系统下实现永久固件,...
- 能平替PS吗?GIMP正式发布3.0版本(gimp代替ps)
-
PS就是Photoshop,是专业的没有对手的电脑端位图设计处理软件,然而一直以来就没有Linux版本,且是收费的,尽管大多数人用的是破解版,但还有一些有原则的人使用开源免费的替代品,那就GIMP,开...
- 一帧一帧做动画太浪费时间!图片一键变动效的PS黑科技插件送你
-
图片制作动效是设计师们常遇到的问题,因为动效可以让用户拥有更好的体验,比如减缓焦虑、引导操作、增加趣味等等。所以作为设计师,会点简单的动效设计是很加分的。那图片如何设计动效呢?我们常用到的软件是AE,...
- 吃鸡游戏还有“破解版”?玩家已经获得“特等奖”,不建议尝试
-
欢迎诸位小伙伴们来到天哥开讲的《和平精英》“精英那点事儿”~接下来呢,咱们聊聊为何第一人称的组队、玩家用“脸”去接空投以及因为“破解版”而被封号等有趣的玩家游戏经历与发现~得,废话不多说了,还是各位小...
- 为什么国内很多人都喜欢用破解版软件?原因找到了
-
大家好,我是学姐。前几天,学姐有个朋友想用PS软件,于是在网上找PS破解版,于是安装完就开始用了。学姐看到后突然想到一个问题,为什么咱们国内很多人都喜欢用破解软件呢?学姐认为有这几个原因。学姐认为这件...
- 索尼自作孽,给黑客提供漏洞!PSV破解:储存卡告破
-
继PSM事件的“主谋”黑客YifanLu放出通过PSM(PlayStationMobileDevelopmentAssistant)漏洞来运行HELLOWORLD视频后,就再也没有传出重大消...
- PS5被破解?一键安装自制系统,第三方程序和游戏随便装
-
这几年来,关于游戏主机被破解的事儿似乎已经不再成为玩家关注的重心,毕竟现在游戏订阅机制下,玩家无论在什么主机上,都能每个月免费玩到不少游戏,只需要每年缴纳一定费用即可。另外由于目前游戏和网络连接紧密,...
- 游戏厅那些生不逢时的街机大作,每一款都代表着一个时代
-
游戏厅时期如何判断一款游戏是否火爆呢?易上手、新手玩家们喜欢抢机位、难度不高、游戏操作门槛低、游戏在各个游戏厅上架率高、上架时间早、游戏玩得时间长、游戏的玩法经典......看看我们熟悉的《三国志》《...
- 慎用macOS破解版应用,黑客用于分发恶意软件
-
IT之家6月6日消息,网络安全公司MacPaw旗下MoonlockLab于6月4日发布博文,表示近期有黑客通过macOS破解版CleanMyMac或Photosho...
- 微软Xbox、索尼PS游戏账号均遭黑客破解!
-
IT之家(www.ithome.com):微软Xbox、索尼PS游戏账号均遭黑客破解!11月22日消息,黑客组织Derp(DerpTrolling)今日声称破解了PSN服务、WindowsLive...
- PS4破解终止!黑客说已经被烦死了(ps4破解到哪了)
-
据外媒报道,黑客CTurt因为在本月早些时候宣布,已经破解PS4内核漏洞而名声大噪。不过现在,CTurt却在推特上宣布,自己将终止PS4破解。PS4破解终止(图片来自kkj)CTurt早前在推特中表示...
- 索尼PS5已被破解?知名黑客发文称获得所有控制台秘钥
-
今天(11月8号),曾经破解了PS4的知名黑客组织Fail0verflow在推特上发文称:“我们已经获得了所有PS5的密钥,包括每个系统控制台的密钥,它们都可以从软件中获取”,还发了一个戴墨镜的emo...